信我

我拿过诺贝尔奖

8岁表妹拿了一道小学题来问我。

看着题目,不禁让我这样一个接受过高等教育的美男子弯着腰,屈着膝,右手托着下颌,陷入深思。

《思想者》

如何优雅的跟表妹讲解这道小学题目呢?

花里胡哨的乘法

首先,对于A×B,如果A、B都是一个数,那么一定等于B×A。但是,如果代表的不是一个数,而是一个矩阵呢?

那么问题又来了,什么是矩阵?

由 m × n 个数排成的m行n列的数表称为m行n列的数块,简称m × n矩阵。

比如这个样子:

记得我第一次看到的时候,心里也是充满质疑:这玩意还能做乘数啊?而结果当然就是无所不能的数学让我自扇耳光,能!

话虽如此,但矩阵参与乘法运算的时候,还是有限制的。

第一,只有在第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同时才有意义,否则你会乘不下去的。

第二,对于大部分乘法运算律,矩阵都能满足,像结合律、分配律。唯独对于乘法交换律,矩阵乘法并不能满足。没错,就是这么不讲道理!

我们都知道,乘法交换律是一种计算定律,两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变,用字母表示a×b=bxa。

这个傲娇的矩阵如果不满足交换律,那正确应该怎么乘?就举小学数学题这个栗子:


换个位置结果还会相等吗?

你会发现,因为不同的相乘次序会有不同的乘积,这就使得A×B不再等于B×A,所以这道小学判断题的答案就是:

表妹:那这花里胡哨的乘法能做什么啊?

最优的买菜选择

来个生活中栗子,假如我要把这两天的菜钱进行统计分析。

第一天:去了村头农贸市场买1斤肉,3斤蔬菜。

第二天:去了村尾王大妈那里买2斤肉,1斤蔬菜。

用矩阵来表示需要买的材料:

接着,就要看价格了。

用矩阵来表示单价的话,我们就可以写成:

把它们两个进行相乘,就会得到一个消费矩阵:

在得出的结果里,我们可以很清晰的看到所有组合的消费可能性,一比较下来,就知道以后一定要和王大妈打好关系。

另外,在这个过程也会发现:

如果材料消耗翻倍,花的钱数也翻倍。如果去不同的菜市场,也会得到不同的花钱数量。

表妹,你怎么就开始抓头发了呢?还没讲完。

编制密码

再来一个基于Hill密码的栗子:运用矩阵论原理的替换密码。

先给个背景:假定26个英文字母与数字之间有以下对应关系:

A B C ...... X Y Z

1 2 3 ...... 24 25 26

现在有个众所周知的机密信息:超模君帅炸了,换成拼音首字母就是:CMJSZL,再换成数字就是:3、13、10、19、26、12,我们把它写成这样:

然后选一个三阶的矩阵,例如:

再然后进行加密:

输出的密码就是新的一串数字:59、36、33、107、69、50。

你看,这样加密以后,就没人知道超模君帅炸了。

我们欠矩阵乘法一个诺贝尔奖

当然,矩阵乘法的应用还有很多,除了上面两个栗子,还能应用于人口迁移模型、生产管理、生态统计、配方、路径等等问题。

而关于矩阵,早在我国数学名著《九章算术》里,曾记载着用分离系数法表示线性方程组,比较接近矩阵的框架,但只是作为线性方程组的标准表示与处理方式,未涉及到运算。

再到后来19世纪,英国数学家凯利首次提出矩阵概念。19世纪中叶,矩阵的算术运算被确定下来,其中就包括矩阵乘法。

20世纪20年代,基于经典力学的旧量子遇到了瓶颈,需要新的理论来取代。而物理学家海森堡在全新的量子理论中必须借助一种奇怪的乘法,这种乘法的结果取决于相乘的次序,即A×B-B×A未必是0。

可能是因为海森堡偏科太严重了,怎么想也想不出来,后来在导师玻尔的帮助下,才发现这奇怪乘法竟然是数学界都知道的矩阵乘法。

海森堡也因此成功创建了作为量子力学的重要组成部分——矩阵力学,获得诺贝尔物理学奖。

这也告诉我们不要偏科,否则本属于你的诺贝尔奖就有可能飞走了。